Не могу отправить письмо из своего почтового клиента. Настройки все проверил - все правильно, но письма не отправляются.

Скорее всего, ваш провайдер заблокировал 25 порт, который используется для отправки писем по протоколу SMTP. Измените порт для отправки на 587.